Äquivalenz von Basis, minimales Erzeugendensystem und maximal linear unabhängige Teilmenge

Sei \(B\) eine Basis und \(v \in V \setminus B\).
Dann folgt, dass eine Linearkombination existiert mit:

\begin{align*} v =& \sum_{i}^{} \alpha_i b_i \end{align*}

für \(B \sqcup \{v\}\) folgt:

\begin{align*} 0 =& -v + \sum_{i}^{} \alpha_i b_i \end{align*}

d.h. es existiert eine nichttriviale Linearkombination

Sei \(v \in V \setminus B\).
Da \(B\) eine maximal linear unabhängige Teilmenge ist, folgt, dass \(B \sqcup \{v\}\) Linear abhängig ist, d.h.

\begin{align*} 0 =& \sum_{i}^{} \alpha_i b_i + \beta v \\ v =& \sum_{i}^{} -\frac{\alpha_i}{\beta} b_i \end{align*}

d.h. \(B\) ist ein Erzeugendensystem
Sei \(b_k \in B\)
Dann gilt wegen der Linearen unabhängigkeit:

\begin{align*} \alpha_k b_k =& \sum_{i \neq k}^{} \alpha_i b_i \Rightarrow \alpha_k = 0 \end{align*}

d.h. \(b_k \in V\) lässt sich nicht erzeugen, d.h. \(B\) ist minimal

Durch Kontrapositionsgesetz:
Sei \(B\) Linear abhängig, dann folgt für \(b_k \in B\)

\begin{align*} b_k =& \sum_{i \neq k}^{} \alpha_i b_i \\ \end{align*}

Daraus folgt:

\begin{align*} \langle B\rangle = \langle B \setminus \{b_k\}\rangle \end{align*}

d.h. \(B\) kann nicht minimal sein und folglich ist \(B\) linear unabhängig