Kästchensatz

Sei \(R\) ein Ring und \(B \in R^{m \times m}, C \in R^{n \times n}, D \in R^{n \times m}\). Dann gilt für die \((m+n) \times (m+n)\) Matrix

\begin{align*} A =& \begin{pmatrix} B & 0 \\ D & C \end{pmatrix} \end{align*} \begin{align*} \mathrm{det}(A) =& \mathrm{det}(B)\mathrm{det}(C) \end{align*}

Es gilt die Darstellung:

\begin{align*} \begin{pmatrix} B & 0 \\ D & C \end{pmatrix} =& \begin{pmatrix} B & 0 \\ D & E_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_m & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix} \end{align*}

Da gilt:mit Einheitsmatrix erweiterte Matrix und deren Determinante.

\begin{align*} \det\begin{pmatrix} B & 0 \\ D & E_n \end{pmatrix} =& \det(B)\\ \det\begin{pmatrix} E_m & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix} =& \det(C) \end{align*}

Somit folgt aus dem Determinantenproduktsatz:

\begin{align*} \det \begin{pmatrix} B & 0 \\ D & 8 \end{pmatrix} =& \det \left( \begin{pmatrix} B & 0 \\ D & E_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_m & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix} \right)\\ =& \det(B) \cdot \det(C) \end{align*}