Determinante einer transponierten Matrix
1. Satz
Sei \(R\) ein kommutativer Ring und sei \(A \in R^{n \times n}\) . Dann gilt:
\begin{align*} \mathrm{det}(A) = \mathrm{det}(A^t) \end{align*}2. Beweis
Sei \(A = (\alpha_{ij}), A^t = (\beta_{ij})\) mit \(\beta_{ij} = \alpha_{ji}\) Es folgt nach Definition:
\begin{align*} \mathrm{det}(A^t) =& \sum_{\tau \in S_n}^{} \mathrm{sgn}(\tau) \beta_{1\tau(1)}...\beta_{n\tau(n)} \\ =& \sum_{\tau \in S_n}^{} \mathrm{sgn}(\tau) \beta_{1\tau(1)}...\beta_{n\tau(n)} \end{align*}Da \(\mathrm{sgn}(\tau)^2 = 1\) ist, folgt aufgrund der Linearität vom Epimorphismus auf das Vorzeichen
\begin{align*} \mathrm{sgn}(\tau) =& \mathrm{sgn}(\tau)^{-1} \\ =& \mathrm{sgn}(\tau^{-1}) \end{align*}Zudem ist \(\tau\) nach Definition eine Bijektion, d.h. es gilt
\begin{align*} \tau(i) = j \Leftrightarrow i = \tau^{-1}(j) \end{align*}Dann folgt aufgrund des Kommutativgesetz für den Ring durch Umordnung
\begin{align*} \alpha_{\tau(1)1} ... \alpha_{\tau(n)n} =& \alpha_{1\tau^{-1}(1)} ... \alpha_{n\tau^{-1}(n)} \end{align*}und damit auch wegen der Eindeutigkeit des inversen Elements einer Gruppe und der Existenz eines Inversen Elements:
\begin{align*} \mathrm{det}(A^t) =& \sum_{\tau \in S_n} \mathrm{sgn}(\tau^{-1}) \alpha_{1\tau^{-1}(1)} ... \alpha_{n\tau^{-1}(n)} \\ =& \sum_{\tau \in S_n} \mathrm{sgn}(\tau) \alpha_{1\tau(1)} ... \alpha_{n\tau(n)} \\ =& \mathrm{det}(A) \end{align*}