Faktorring als Ring

1. Satz

Sei \(R\) ein Ring und \(I\) ein Ideal. Dann folgt, dass \(R / I\) ein Ring ist bezüglich folgender Operationen:

\begin{align*} (r_1 + I ) + (r_2 + I) =& r_1 + r_2 + I \\ (r_1 + I) \cdot (r_2 + I) =& r_1r_2 + I \end{align*}

mit den Nullelemet \(0 + I\) und dem Einselement \(1 + I\) ist

2. Beweis

2.1. a)

Da \((R,+)\) nach definiion abelsch ist, folgt dass \(I\) als Untergruppe ein Normalteiler ist (siehe: Normalteiler in Abelschen Gruppen) Daraus folgt, dass \(R/I\) eine (abelsche) Gruppe ist (siehe: Gruppe des Faktorraums eines Normalteilers)

2.2. Wohldefiniertheit der Multiplikation

Sei \(r_i + I = r_i' + I\) für \(i = 1,2\). Dann existieren \(i_1,i_2 \in I\) mit \(r_1 = r_1' + I\) und \(r_2 = r_2' + I\) Da \(I\) ein Ideal ist, folgt \(i_1r_2, i_2r_1, i_1i_2 \in I\), so dass für die Multiplikation folgt:

\begin{align*} (r_1 + I)(r_2 + I) =& (r_1r_2 + I) \\ ((r_1 + i_1) + I)((r_2 + i_2) + I) =& (r_1 + i_1)(r_2 + i_2) + I \\ =& r_1r_2 + i_1r_2 + i_2r_1 + i_1i_2 + I \\ =& r_1r_2 + I \end{align*}

2.3. Distributivgesetz

Für \(r_1,r_2,r_3 \in R\) gilt:

\begin{align*} \left((r_1 + I) + (r_2 + I) \right) (r_3 + I) =& ((r_1 + r_2) + I) (r_3 + I) \\ =& ((r_1 + r_2)r_3 + I) \\ =& r_1r_3 + r_2r_3 + I \\ =& (r_1r_3 + I) + (r_2r_3 + I) \end{align*}

Analog für die andere Richtung