Polynomring als Ring
1. satz
Sei \(R[x]\) ein Polynomring. Dann ist \(R[x]\) ein Ring und g.d.w. ein kommutativer Ring wenn \(R\) kommutativ ist
2. Beweis
2.1. abelsche Gruppe
Das Neutrale Element ist \(\sum_{i=0}^{0} 0 X^i = 0\), das Inverse Element für \(\sum_{i=0}^{n} a_i X^i\) ist \(\sum_{i=0}^{n} -a_i X^i\), folgt durch Umordnung und Rechnen in \(R\) Abgeschlossenheit folgt aus der Abgeschlossenheit von \(R\) als Ring
2.2. Halbgruppe
Das neutrale Element ist \(1 = \sum_{i=0}^{0} 1 X^i\), Abgeschlossenheit folgt wieder aus dem Distributivgesetz und der Abgeschlossenheit gegenüber multiplikation in \(R\)
2.3. Verträglichkeit
Nachrechnen, folgt aus der Verträglichkeit aus dem Ring