Multiplikation einer Matrix mit der Adjunkte

Sei \(A = (\alpha_{ij}) \in R^{n \times n}\) eine Matrix über dem ring \(R\), dann ist

\begin{align*} A \cdot \tilde{A} =& \mathrm{det}(A)E_n \\ =& \tilde{A} \cdot A \end{align*}

für die Adjunkte \(\tilde{A}\)

Es gilt für den Eintrag

\begin{align*} (A \cdot \tilde{A})_{ij} =& \sum_{l=1}^{n} \alpha_{ij} \cdot (-1)^{} \det{A \setminus \{i,j\}} \\ =& \delta_{ik} \mathrm{det}(A) \end{align*}

und wegen der Determinant als Abstrakte Volumenfunktion mit der <linear abhängige zeilen>