Abschluss als kleinste abgeschlossene Menge - to watch
1. Satz
Sei \((X, \mathcal{T})\) ein topologischer Raum und \(A \subseteq X\) eine Teilmenge und \(\overline{A}\) der Abschluss. Sei \(A \subseteq B \subseteq X\) eine abgeschlossene Menge, so folgt \(\overline{A} \subseteq B\).
2. Beweis
2.1. abgeschlossene Menge
folgt aus Abschluss als abgeschlossene Menge
2.2. kleinste
Beweis durch Widerspruch: Angenommen es existiert eine abgeschlossene Menge \(\overline{A}' \subseteq A\) mit \(x \in \overline{A} \setminus \overline{A}'\), so bilde man den Durchschnitt \(\tilde{A}\) (vgl. Abgeschlossenheit vom Durchschnitt abgeschlossener Mengen) als abgeschlossene Menge. Daraus folgt, dass \(X \setminus \tilde{A}\) offen ist und mit \(x \in X \setminus \tilde{A}\), d.h. es existiert eine Disjunkte Umgebung für \(x \not\in A\), und damit folgt \(x \not\in \overline{A}\), was ein Widerspruch zur Annahme ist.