homeomorphism as continuous, open / closed Bijection

1. Satz

Seien \((X, \mathcal{T})\) und \((X', \mathcal{T}')\) topologische Räume und \(f: X \rightarrow X'\) eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

\(f\) ist ein Homeomorphismus
\(f\) ist eine bijektive, stetige, offene Abbildung
\(f\) ist eine bijektive, stetige, abgeschlossene Abbildung

2. Beweis

2.1. a)

Sei \(f\) ein Homeomorphismus, so ist auch \(f^{-1}\) stetig, d.h. für eine offene Menge \(O' \in \mathcal{T}'\) ist \((f^{-1})^{-1}[O'] = f[O']\) offen Analog \(f\) als abgeschlossene Abbildung durch die Aussage über Urbilder abgeschlossene Mengen unter stetigen Abbildungen

2.2. b)

Wegen der Umkehrbarkeit bijektiver Abbildungen bleibt zu zeigen: \(f^{-1}\) ist stetig Sei \(A \in \mathcal{T}\), so ist \((f^{-1})^{-1}[f[A]] = f[A] \in \mathcal{T}'\). Analog für eine abgeschlossene Abbildung