Stetigkeit einer Abbildung und Stetigkeit in allen Punkten

1. Satz

Seien \((X, \mathcal{T})\) und \((X', \mathcal{T}')\) topologische Räume und \(f: X \rightarrow X'\) eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

\(f\) ist stetig
\(f\) ist in allen Punkten stetig (Topologie)

2. Beweis

2.1. a)

Folgt aus dem Urbilder von Umgebungen unter stetigen Abbildungen: Sei \(x \in X\) gegeben, so wähle man eine Umgebung \(U'\) von \(f(x)\) und nach Annahme folgt, dass das Urbild \(f^{-1}[U']\) eine Umgebung von \(x\) ist.

2.2. b)

Sei \(x \in X\) beliebig und \(U \in \mathcal{U}(x)\) sowie \(U' \in \mathcal{U}'(f(x))\), so dass folgt:

\begin{align*} f[U] \subseteq U' \end{align*}

daraus folgt insbesenodre \(f^{-1}[U'] \subseteq U\) und damit ist das Urbild von \(U'\) eine Umgebung