set of module homomorphisms over a commutative ring as module

1. Satz

Sei $R$ ein kommutativer Ring und $M,M'$ $R$-Moduln sowie $N \coloneqq \mathrm{Hom}_{R}(M,M')$ die Menge der Modulhomomorphismen Dann ist $N$ ebenfalls ein $R$-Modul bezüglich:

\begin{align*} (r \cdot f): m \mapsto r \cdot f(m) \end{align*}

2. Beweis

2.1. abelsche Gruppe

folgt aus der Menge der Modulhomomorphismen als abelsche Gruppe

2.2. pseudo-assoziativ

Seien $r,r' \in R$ so folgt für $f \in N$ und $m \in M$:

\begin{align*} (r \cdot r')(f)(m) =& r \cdot r' \cdot f(m) \\ r \cdot (r' \cdot f)(m) =& r \cdot r' \cdot f(m) \end{align*}

2.3. distributiv

Seien $r,r' \in R$ und $f,f' \in N$ so gilt:

\begin{align*} (r + r')(f + f')(m) =& (r + r')(f(m) + f'(m)) \\ =& r f(m) + r' f'(m) + rf'(m) + r'f'(m) \\ =& (r + r')(f)(m) + (r + r')(f')(m) =& r f(m) + r' f'(m) + rf'(m) + r'f'(m) \\ =& r \cdot (f + f')(m) + r' \cdot (f + f')(m) \end{align*}

3. Frage

ist kommutativ wirklich notwendig