Subbasis einer Initialtopologie

Sei stetig, so gilt für eine offene Menge , dass das Urbild ebenfalls offen ist. Zu den Bedingungen für eine Basis einer Topologie: Es gilt , d.h. ist offen in der induzierten topologie. Ferner gilt nach Konstruktion, dass der endliche Durchschnitt enthalten ist, und damit insbesondere auch eine Vereinigung

folgt aus der Definition, da eine Basis als Subbasis

Sei eine Topologie und eine Abbildung:

Falls stetig ist, folgt aus der Komposition stetiger Abbildungen, dass stetig ist. Sei stetig, so zeigen wir nach der Aussage, dass das Urbild der Subbasis offen ist. Sei , d.h. für ein offenes , dann folgt

Wegen der stetigkeit von folgt damit, dass und damit auch offen ist, d.h. ist stetig

folgt aus dem axiom schema of specification