Kernel of a module homomorphism as submodule

Seien \(M,M'\) $R$-Moduln über einem Ring \(R\) und \(\phi: M \rightarrow M'\) ein Modulhomomorphismus. Dann ist \(\mathrm{ker}(\phi)\) ein Untermodul von \(M\) (vgl. Kern)

Als Gruppenhomomorphismus folgt, dass der Kern ebenfalls eine Untergruppe ist. Sei \(m \in \mathrm{ker}(\phi)\) und \(r \in R\), so folgt

\begin{align*} \phi(r \cdot m) =& r \cdot \phi(m) \\ =& r \cdot 0 \\ =& 0 \end{align*}