abelian group homomorphisms as abelian group

1. Satz

Seien \(G,G'\) ein abelsche Gruppen und \(M \coloneqq \mathrm{Hom}_{}(G,G')\) die Menge der Gruppenhomomorphismen, dann ist \(M\) eine abelsche Gruppe bezüglich

\begin{align*} \varphi \circ \psi \coloneqq \varphi + \psi: g \mapsto& \varphi(g) + \psi(g) \end{align*}

2. Beweis

2.1. neutrale Element

folgt aus Nullabbildung als Gruppenhomomorphismus

2.2. inverse Element

folgt aus Inverse zu einem Gruppenhomomorphismus für abelsche Gruppen als Gruppenhomomorphismus Insbesondere ist hier Kommutativität notwendig !

2.3. assoziativ

Seien \(f_1,f_2,f_3 \in M\), so gilt für \(m \in G\)

\begin{align*} ((f_1 + f_2) + f_3)(m) =& (f_1 + f_2)(m) + f_3(m) \\ =& f_1(m) + f_2(m) + f_3(m) \\ =& f_1(m) + (f_2 + f_3)(m) \\ =& (f_1 + (f_2 + f_3))(m) \end{align*}

2.4. kommutativ

Seien \(f,g \in M\), so gilt für \(m \in G\)

\begin{align*} (f + g)(m) =& f(m) + g(m) \\ =& g(m) + f(m) =& (g + f)(m) \end{align*}