first isomorphism theorem for modules

1. Satz

Sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$-Modul und $N,N'$ Untermoduln von $M$. Dann gilt

\begin{align*} N / (N \cap N') \cong (N \oplus N')/N' \end{align*}

siehe: Schnitt von Untermoduln als Untermodul

2. Beweis

Folgt aus dem Homomorphiesatz für Moduln, da für den Modulhomomorphismus

\begin{align*} \varphi: N \rightarrow (N + N')/N' n \mapsto n + 0 + N' \end{align*}

gilt:

\begin{align*} \mathrm{im}(\varphi) =& (N + N')/N' \\ \mathrm{ker}(\varphi) =& N \cap N' \end{align*}

Sei $n + n' + N' \in (N + N')/N'$ mit $n \in N, n' \in N'$, so ist $\phi(n) = n + N' = n + n' + N'$ Sei $\phi(n) = 0$, so folgt $n + N' = 0 + N'$ und damit auch $n \in N'$ sowie wegen der Domain $n \in N'$