Existenz einer maximal linear unabhängigen Menge

Sei \(R\) ein Integritätsbereich und \(M\) ein $R$-Modul sowie \(N \subseteq M\) eine Teilmenge dann existiert eine maximal linear unabhängige Teilmenge \(S \susbseteq N\)

Sei \(S = \{U \subseteq V \vert U \text{ ist linear unabhängig }\}\) die Menge der lineare unabhängigen Mengen mit der Teilmengenrelation als Halbordnung. Diese ist wegen \(\emptyset\) nichtleer. Sei ferner \(K = \{k_i \vert i \in I\} \subseteq S\) eine induktive Kette. Dann ist \(A \coloneqq \bigcup_{i \in I} K\) ebenfalls linear unabhängig und damit auch \(A \in S\) (siehe: Vereinigung von linear Unabhängigen Obermengen) Damit enthält \(K\) ein Maximum und nach dem Lemma von Zorn auch \(S\).