reduktion modulo p als irreduzibles Element und Irreduzibilität über dem Quotientenkörper

Sei \(R\) ein faktorieller Ring, \(p \in R\) ein Primelement und \(f = \sum_{i=0}^{n} \alpha_i X^i \in R[X]\) ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit \(p \nmid \alpha_n\).
Sei ferner die Reduktion modulo p \(f_p \coloneqq \pi_p(f) \in (R/(p))[X]\) irreduzibel

Dann ist \(f \in Q(R)[X]\) irreduzibel

Sei \(f = \sum_{i=0}^{n} \alpha_i X^i \neq 0\) und \(c = \mathrm{gcd}(\alpha_1,...,\alpha_n)\).
Dann existiert ein primitives Polynom \(\overline{f} \in R[X]\) mit

\begin{align*} f = c \cdot \overline{f} \end{align*}

Zudem gilt nach Annahme \(p \not\mid \alpha_n\) und damit auch \(p \not\mid c\) bzw. \(p\) teilt auch nicht den höchsten Koeffizienten von \(\overline{f}\).

Somit gilt \(\mathrm{deg}(\pi(\overline{f})) > 0\) und ferner ist \(\pi(f)\) irreduzibel.

\begin{align*} \pi(f) = \pi(c) \cdot \pi(\overline{f}) \end{align*}

Damit folgt \(\pi(c) \in (R/(p))^{\times}\) bzw. \(\pi(\overline{f})\) irreduzibel in \((R/(p))[X]\) (vgl. )
Nach Reduktion modulo p eines primitiven Polynoms und irreduzibilität über dem Ring folgt, dass \(\overline{f}\) irreduzibel in \(R[X]\) und damit auch erst recht in \(K[X]\) ist.

Ebenso ist \(c \in K^{\times}\), d.h.

\begin{align*} f = \overline{f} \cdot c \end{align*}

ist irreduzibel in \(K[X]\)