Reduktion modulo p eines primitiven Polynoms und irreduzibilität über dem Ring

Sei \(R\) ein faktorieller Ring, \(p \in R\) ein Primelement und \(f = \sum_{i=0}^{n} \alpha_i X^i \in R[X]\) ein vom Nullpolynom verschiedened Polynom mit \(\alpha_n \not\in \mathfrak{p}\). Für die Reduktion modulo p \(f_p \coloneqq \pi_p(f) \in (R/(p))[X]\) gilt dann:

Ist \(f_p \in (R/(p))[X]\) primitiv und irreduzibel, so ist \(f \in R[X]\) irreduzibel.

Beweis durch Kontraposition

Sei \(f \in R[X]\) reduzibel und primitiv. dann existieren \(g,h \in R[X] \setminus R[X]^{\times}\) mit \(g \cdot h = f\) und wegen der Primitivität gilt \(\mathrm{deg}(g), \mathrm{deg}(h) > 0\). Zudem gilt \(p \not\mid \alpha_n\) also insbesondere teilt \(p\) auch nicht die höchsten Koeffizienten von \(g,h\). Damit folgt

\begin{align*} \mathrm{deg}(\pi(g)), \mathrm{deg}(\pi(h)) > 0 \end{align*}

und wegen units in a polynomial ring und prime ideal and quotient ring as integral domain sind \(\pi(g),\pi(h)\) keine Einheiten. Damit gilt dann

\begin{align*} \pi(f) = \pi(g) \cdot \pi(h) \end{align*}

also ist \(\pi(f)\) reduzibel