inversenabbildung als gruppenautomorphismus und abelsche gruppe

folgt aus

• opposite group of an abelian group
  
• inversenabbildung als gruppenisomorphismus
  

Proof by contraposition:
Angenommen \(G\) ist nicht abelsch, d.h. es existieren \(g_1,g_2 \in G\) mit

\begin{align*} g_1 \cdot g_2 \neq g_1 \cdot g_2 \end{align*}

Dann gilt für \(g_1^{-1}, g_2^{-1}\) auch nach Inversion einer Klammer und Element als Inverse des Inversen

\begin{align*} (g_1^{-1} \cdot g_2^{-1})^{-1} =& (g_2^{-1})^{-1} \cdot (g_1^{-1})^{-1} \\ =& g_2 \cdot g_1 \\ \neq& g_1 \cdot g_2 \\ \neq& (g_1^{-1})^{-1} \cdot (g_2^{-1})^{-1} \end{align*}

d.h. die Abbildung erhält nicht die Multiplikation.
Damit ist für eine nicht-abelsche Gruppe die Inversenabbildung kein Gruppenhomomorphismus, wodurch aus Kontraposition die Aussage folgt