gauß algorithmus für die Determinante

Gegeben eine Matrix \(A \in K^{n \times n}\).
Dann verwendet man Elementare Zeilenumformungen & Elementare Spaltenumformungen um die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen.
Zum Schluss berechnet man die Determinante der Matrix in Zeilenstufenform indem man die Diagonale multipliziert und je nachdem welche Operationen man verwendet hat passt man das Ergebnis an (siehe: Achtung).

1. Wenn man eine Zeile/Spalte zu einer Anderen addiert, dann verändert das die Determinante nicht.
   
2. Wenn man eine Zeile/Spalte mit \(\lambda\) skaliert, dann muss man das Ergebnis später noch mit \(\frac{1}{\lambda}\) multiplizieren
   
3. Wenn man zwei Zeilen vertauscht/zwei Spalten vertauscht, dann muss man das Ergebnis später noch mit \((-1)\) multiplizieren.
   

Addition von Zeilen/Spalten zu anderen Zeilen/Spalten korrespondieren zu Multiplikation mit Elementarmatrizen.
Wegen der Multiplikativität gilt dann

\begin{align*} \mathrm{det}(A \cdot T_{i,j}(\alpha)) =& \mathrm{det}(A) \cdot \mathrm{det}(T_{i,j}(\alpha)) \\ =& \mathrm{det}(A) \cdot 1 \\ =& \mathrm{det}(A) \end{align*}

da \(\mathrm{det}(T_{i,j}(\alpha)) = 1\) gilt (bzw. analog für \(\mathrm{det}(T_{i,j}(\alpha) \cdot A)\).

Skalierung mit \(\lambda\) / Vertauschung korrespondieren ebenfalls zu Multilpaktion mit Matrizen, welche Determinante \(\lambda\) bzw. \((-1)\) haben (todo).

Zuletzt gilt, dass die Determinante einer Matrix in Zeilenstufenform gegeben ist durch die Diagonale (todo - verwende Leibnizformel/Induktion).