Ableitung der Umkehrfunktion
1. Satz
Sei \(f: X \rightarrow Y\) eine umkehrbare, differenzierbare Funktion mit der Umkehrfunktion \(f^{-1}: Y \rightarrow X\) mit \(X,Y \subseteq \mathbb{R}\) sowie \(x \in X\) und \(y \in Y\) Dann gilt
\begin{align*} f^{-1}': Y' \rightarrow& \mathbb{R} \\ y \mapsto \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \end{align*}mit \(Y' = Y \setminus \{f(x) \vert f'(x) = 0\}\)
2. Beweis
2.1. Differenzierbarkeit
2.2. Ableitung
Aufgrund der Definition der Umkehrfunktion gilt
\begin{align*} (f^{-1} \circ f) (x) =& x \\ (f \circ f^{-1}) (y) =& y \\ (f^{-1} \circ f \circ f^{-1}) (y) =& f^{-1}(y) \end{align*}Aufgrund der Kettenregel für mehrere Kompositionen gilt:
\begin{align*} f^{-1}' (y) =& (f^{-1} \circ f \circ f^{-1})' (y) \\ =& (f^{-1}' \circ f \circ f^{-1})(y) \cdot (f \circ f^{-1})(y) \cdot f^{-1}' (y) \\ f^{-1}' =& (f^{-1})'(y) \cdot (f \circ f^{-1})(y) \cdot (f^{-1}') (y) \end{align*}Etwas formalismus notwendig:
- umkehrbarkeit bei ableitung 0
-> nicht möglich Für \(f^{-1}' \neq 0\) und \((f \circ f^{-1})(y) \neq 0\) gilt:
\begin{align*} f^{-1}' =& (f^{-1})'(y) \cdot (f \circ f^{-1})(y) \cdot (f^{-1}') (y) && \vert \cdot \frac{1}{f^{-1}'}\\ 1 =& (f \circ f^{-1})(y) \cdot (f^{-1}') (y) && \cdot \frac{1}{(f \circ f^{-1})(y)}\\ \frac{1}{(f' \circ f^{-1})(y)} =& f^{-1}' \end{align*}