Menge der Homomorphismen als Vektorraum

Seien \(V,W\) K-Vektorräume und \(f,g \in \mathrm{Hom}_K(V,W)\), \(\alpha \in K\) so ist die Menge der Vektorraumhomomorphismen ein K-Vektorraum mittels:

\begin{align*} (f + g)(a) \coloneqq& f(a) + g(a) \\ (\alpha f)(a) \coloneqq& \alpha f(a) \end{align*}

Nachrechnen der Vektorraum-Eigenschaften

• Distributivgesetze in einem Vektorraum, Assoziativgesetz und Kommutativgesetz folgen aus der Punktweisen Eigenschaft
  
• abelsche Gruppe:
  
  • neutral element folgt aus der Nullabbildung
    
  • Inverses Element folgt aus dem Lemma über die Existenz und Eindeutigkeit eines Homomorphismus durch die Abbildungen der Basen - hier auf das inverse einer Basis
    
  • Abgeschlossenheit der Vektoraddition folgt analog
    
• Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation folgt wieder z.B. aus der Definition auf der Basis