Wohldefiniertheit des charakteristischen Polynoms bezüglich der Basis

Das charakteristische Polynom ist Wohldefiniert bezüglich der Wahl der Basis

Sei \(f \in \mathrm{End}_K(V)\) und \(A_{f, B,B}, A'{f,B',B'} \in K^{n \times n}\) für gegebenfalls verschiedene Basen \(B,B'\) Dann existiert eine Matrix für den Basiswechsel \(C_{\mathrm{id}_{}, B,B'}\) bzw. \(C_{\mathrm{id}_{}, B', B} = C_{\mathrm{id}_{}, B,B'}^{-1}\) Es folgt:

\begin{align*} A_{f,B,B} =& C_{\mathrm{id}_{}, B',B} A_{f, B',B'} C_{\mathrm{id}_{}, B,B'} \end{align*}

und wegen der Distributivität des Matrixprodukts

\begin{align*} C_{\mathrm{id}_{}, B',B} (xE - A_{f, B',B'}) C_{\mathrm{id}_{}, B,B'} =& C_{\mathrm{id}_{}, B',B} x \cdot E C_{\mathrm{id}_{}, B,B'} - C_{\mathrm{id}_{}, B',B} A_{f, B',B'}) C_{\mathrm{id}_{}, B,B'} \\ =& x \cdot C_{\mathrm{id}_{}, B',B} \cdot E C_{\mathrm{id}_{}, B,B'} - A_{f,B,B} \\ =& x \cdot C_{\mathrm{id}_{}, B',B} \cdot C_{\mathrm{id}_{}, B,B'} - A_{f,B,B} \\ =& xE - A_{f,B,B} \end{align*}

Daraus folgt aus dem Determinantenproduktsatz:

\begin{align*} \det(C_{\mathrm{id}_{}, B',B} (xE - A_{f, B',B'}) C_{\mathrm{id}_{}, B,B'} ) =& \det(C_{\mathrm{id}_{}, B',B} \det(xE - A_{f, B',B'}) \det(C_{\mathrm{id}_{}, B,B'} ) \\ =& \det(C_{\mathrm{id}_{}, B',B} \det(C_{\mathrm{id}_{}, B',B}^{-1}) \det(xE - A_{f, B',B'}) \\ =& \det(C_{\mathrm{id}_{}, B',B} \det(C_{\mathrm{id}_{}, B',B})^{-1} \det(xE - A_{f, B',B'}) \\ =& 1 \cdot \det(xE - A_{f, B',B'}) \\ =& \det(xE - A_{f, B',B'}) \end{align*}