maximal ideal of a commutative ring and quotient ring as field

Kommutativgesetze, Assoziativgesetz, Distributivgesetz werden weitervererbt;

Ebenso ist \((R/M, +)\) eine abelsche Gruppe; Zusätzlich ist \(((R/M) \setminus \{0\}, \cdot)\) eine Halbgruppe, da \(1 \in R \setminus M\) und nach Konstruktion \((1 + M)\) das neutrale Elemente der Multiplikation ist. Damit ist nur noch die Existenz Inverser Elemente zu zeigen:

Sei \(r \in R\) und \(r + M \neq 0\), d.h. \(r \not\in M\) (sonst wäre wegen der Gruppeneigenschaft \(-r \in M\)). Damit folgt insbesondere, dass das Ideal \(M_{r} \coloneqq \{m + r' r \vert m \in M, r' \in R \} = R\) ist, da nach Annahme \(M\) maximal ist. Es gilt (vgl. von einer Einheit erzeugtes Ideal):

\begin{align*} 1 \in M \Leftrightarrow M = R \end{align*}

D.h. es existiert eine Darstellung:

\begin{align*} 1 =& m + r'r \\ 1 + M =& r'r + M \end{align*}

Daraus folgt, dass \((r' + M)\) das inverse Element ist

Sei \(R/M\) ein Körper, so existiert für \(r \in R\) mit \(r + M \neq 0\) ein inverses Element. Angenommen \(r\) wäre nicht maximal, so existiert ein \(d \in R \setminus M\), so dass gilt:

\begin{align*} \{d + m \vert m \in M \} \neq R \end{align*}

Analog gilt (vgl. von einer Einheit erzeugtes Ideal):

\begin{align*} 1 \in M \Leftrightarrow M = R \end{align*}

Daraus folgt:

\begin{align*} \nexists m \in M, r \in R : 1 =& r \cdot d + m \end{align*}

Dies ist aber ein Widerspruch, da für \(d + M\) ein inverses Element \(d^{-1} + M\) existiert und für die Multiplikation gilt:

\begin{align*} (1 + M) =& (d + M) (d^{-1} + M) \\ \Rightarrow 1 =& r \cdot d + m \end{align*}