Wohldefiniertheit der Basis eines Vektorraums

1. Satz

2. Beweis

2.1. endlich

Beweis durch Widerspruch: Seien B,B endliche Basen, so sind B,B jeweils lineare unabhängig. Sei o.B.d.A. |B|<|B| Durch den Austauschsatz von Steinitz folgt, dass man |B| Elemente von B austauschen kann, so dass das Ergebnis wieder eine Basis ist Dabei existiert aber ein biB zusätzlich zu B in der neu erzeugten Basis Nach annahme ist aber B ein Erzeugendensystem, so dass eine Linearkombination gleich bi existiert und somit auch eine nichttriviale Linearkombination gleich null. Damit kann B{bi} keine Basis sein, was ein widerspruch sit.

Date: nil

Author: Anton Zakrewski

Created: 2024-10-11 Fr 22:15