Wohldefiniertheit der Basis eines Vektorraums

Beweis durch Widerspruch: Seien \(B,B'\) endliche Basen, so sind \(B,B'\) jeweils lineare unabhängig. Sei o.B.d.A. \(\vert B \vert < \vert B' \vert\) Durch den Austauschsatz von Steinitz folgt, dass man \(\vert B \vert\) Elemente von \(B'\) austauschen kann, so dass das Ergebnis wieder eine Basis ist Dabei existiert aber ein \(b'_i \in B'\) zusätzlich zu \(B\) in der neu erzeugten Basis Nach annahme ist aber \(B\) ein Erzeugendensystem, so dass eine Linearkombination gleich \(b'_i\) existiert und somit auch eine nichttriviale Linearkombination gleich null. Damit kann \(B \cup \{b'_i\}\) keine Basis sein, was ein widerspruch sit.