ringhomomorphism from an field as monomorphism

Suppose \(F\) a field, \(R\) a Ring and \(\varphi: F \rightarrow R\) a ringhomomorphism. Then \(\varphi\) is a ringmonomorphism.

Nach der Äquivalenz von einem Monomorphismus und einem minimalen Kern ist zu zeigen:

\begin{align*} \mathrm{ker}(f) = \{0\} \end{align*}

Sei \(x \in \mathrm{ker}(f) \setminus \{0\}\), so folgt daraus ein Widerspruch, da gilt:

\begin{align*} 1 =& f(1) \\ =& f(x \cdot x^{-1}) \\ =& f(x) \cdot f(x^{-1}) \\ =& 0 \cdot f(x^{-1}) \\ =& 0 \end{align*}

Alternative:

• field as local Ring
• \(\varphi(1) = 1 \neq 0\).
• Kern eines Ringhomomorphismus als Ideal