Bild einer Basis eines Vektorraumisomorphismus als Basis

Seien \(V,W\) K-Vektorräume und \(\varphi: V \rightarrow W\) ein Homomorphismus.
TFAE:

1. \(\varphi\) ist ein Isomorphismus
   
2. \(\varphi\) bildet alle Basen von \(V\) auf eine Basis von \(W\) ab
   
3. \(\varphi\) bildet eine bestimmte basis von \(V\) auf eine basis von \(W\) ab
   

Dabei heißt "bildet eine Basis auf eine Basis ab":
Gegeben eine Basis \(\mathcal{B} \subseteq W\), so ist die Einschränkung

\begin{align*} \varphi_{\vert \mathcal{B}}: \mathcal{B} \rightarrow W \end{align*}

injektiv und das Bild davon ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem