Vektorraummonomorphismus erhält lineare Unabhängigkeit

trivial

Sei \(L\) maximal linear unabhängig, so ist \(L\) auch eine basis (vgl. Äquivalenz von Basis, minimales Erzeugendensystem und maximal linear unabhängige Teilmenge).

Sei \(L \subseteq V\) eine lineare unabhängige Menge und seien \(b_1,...,b_n \in \varphi[L]\) mit

\begin{align*} \sum_{i=1}^{n} \alpha_i b_i \end{align*}

Dann existiert nach Annahme ein eindeutiges \(a_i \in V\) mit \(\varphi(a_i) = b_i\).
Ferner folgt

\begin{align*} 0 =& \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \varphi(a_i) \\ =& \varphi(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i a_i) \\ \end{align*}

nach der Äquivalenz von einem Monomorphismus und einem minimalen Kern folgt \(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i a_i = 0\) und nach Annahme der linearen Unabhängigkeit von \(a_i\) auch \(\alpha_i = 0\)