LinAlg 1 - Tut5

Zeige

\begin{align*} \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} = 0 \end{align*}

Finde

\begin{align*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \end{align*}

Seien \(a,b \in \mathbb{Z}\) mit größtem gemeinsamen Teiler \(d = \mathrm{ggT}(a,b)\).
Dann existieren \(x,y\) so dass

\begin{align*} d = ax + by \end{align*}

Tipp:
Betrachte die Menge \(\{ax + by \vert x,y \in \mathbb{Z}\} \cap ( \mathbb{N} \setminus \{0\})\).
Diese enthält ein kleinstes Element \(d'\).

Teile dann \(a\) durch \(d'\) (mit Rest).

Sei der Ring \((\mathbb{Z}/n \mathbb{Z},+,\cdot)\) gegeben.
Zeige, dass ein element \([m] \in \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}\) eine einheit ist wenn

\begin{align*} \mathrm{ggT}(m,n) = 1 \end{align*}

gilt.

Sei \((R, \cdot, +)\) ein Ring (verschieden vom Nullring), \(\alpha \in R^{\times}\) eine Einheit.

Zeige dass \(\alpha\) kein Nullteiler ist.

folgere dass ein Körper keinen Nullteiler ungleich \(0\) besitzt.

Zeige, dass \(\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}\) ein Körper ist genau dann wenn \(n\) eine Primzahl ist.

Seien \(\mathbb{Z}[\mathrm{i}] = \{a + b \mathrm{i} \vert a,b \in \mathbb{Z}\} \subseteq \mathbb{C}\) die ganzen gaußschen Zahlen.
Zeige, dass \(\mathbb{Z}[ \mathrm{i}]\) ein Unterring von \(\mathbb{C}\) ist.

Bestimme die Menge der Einheiten der gaußschen ganzen Zahlen.

Tipp. betrachte den komplexen Absolutbetrags

\begin{align*} \vert a + b \mathrm{i} \vert \coloneqq \sqrt{a^2 + b^2} \end{align*}

für \(a, b \in \mathbb{R}\).

Nimm als gegeben an, dass der komplexe Absolutbetrag multiplikativ ist, d.h. für \(z_1,z_2 \in \mathbb{C}\) gilt

\begin{align*} \vert z_1 \cdot z_2 \vert = \vert z_1 \vert \cdot \vert z_2 \vert \end{align*}