LinAlg 1 - Tut6

Erinnerung

disclaimer

Diese Erinnerung dient primär als Hilfe für die Tutoriumsaufgaben.

Insbesondere ist diese weder vollständig (ich habe leider als Tutor auch keine genauen Informationen zu den Vorlesungsinhalten) noch i.A. korrekt (ich habe viele Zettel selber während des ersten Semesters geschrieben und selten gegengelesen, d.h. jedes Buch wird um Größenordnungen weniger Fehler beinhalten)

Liste

Aufgaben

Sei im Folgenden \(K\) ein Körper und \(V\) ein \(K\)-Vektorraum.

1) Vektorraumdefinition

a)

Zeige, dass \(K\) eine natürliche¹ K-VR Struktur erhält.

b)

Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, \(X\) eine Menge und \(\mathrm{Abb}(X,V)\) die Menge der Abbildungen.
Zeige dass \(\mathrm{Abb}(X,V)\) eine Vektorraumstruktur über \(K\) erhält.

Bemerkung:
Sei \(X\) zusätzilch mit einer \(K\)-Vektorraum Struktur ausgestattet.
Sei \(\mathrm{Hom}_{K}(X,V)\) die Teilmenge, welche genau die Vektorraumhomomorphismen als Elemente erhält.
Dann ist \(\mathrm{Hom}_{K}(X,V)\) ein Untervektorraum von \(\mathrm{Abb}(X,V)\)

c)

Sei \(X = \{1,...,n\}\).
Finde einen Vektorraumisomorphism zwischen

\begin{align*} \varphi: \mathrm{Abb}( \{1,...,n\}, K) \rightarrow K^n \end{align*}

Verwende dabei die Vektorraumstruktur aus \(\mathrm{Abb}(X,V)\) für \(V = K\)

2) Lineare Unabhängigkeit

Sei \(K = \mathbb{Q}\)²

Seien \(x,y,z \in V\) mit \(\{x,y,z\}\) als linear unabhängige Menge.
Welche Menge von Vektoren ist linear unabhängig ?

\(\{v\}\) für ein festes \(v \neq 0\)
\(\{0\}\)
\(\{y-z, z - x, x - y\}\)
\(\{y + z, z + x, x + y\}\)
\(\{x + y + z, y + z, z\}\)
\(\{ \lambda_1 \cdot x, \lambda_2 \cdot y, \lambda_3 \cdot z \}\) für \(\lambda_i \neq 0\)

3) Lineare Abhängigkeit und Linearkombination

a) Linear abhängiges paar

Seien \(u,v \in V \setminus \{0\}\) linear abhängig.
Zeige dass dann ein \(\lambda \in K\) existiert mit

\begin{align*} \lambda \cdot u = v \end{align*}

b) linear abhängig

Seien \(u_1,...,u_n, v \in V\), so dass \(\{u_1,...,u_n,v \}\) linear abhängig und \(\{u_1,...,u_n\}\) linear unabhängig ist.
Zeige, dass \(v\) eine Linearkombination von \(u_1,...,u_n\) ist, d.h.

\begin{align*} v = \sum_{i = 1}^n \alpha_i u_i \end{align*}

für \(\alpha_i \in K\)

c) Eindeutigkeit

Sind die \(\alpha_i\) aus b) eindeutig bestimmt ?

d) a als Spezialfall

Folgere, dass die a) aus der b) folgt

4) Erzeugter VR

Seien \(u_1,...,u_n, u_{n+1}\) Vektoren, so dass \(u_{n+1}\) eine Linearkombination von \(u_1,...,u_n\) ist.
Zeige dass der erzeugte Vektorraum von \(u_1,...,u_n\) mit dem erzeugten Vektorraum von \(u_1,...,u_{n+1}\) übereinstimmt.

Lösungsskizze

1) Vektorraumdefinition

Abbildungen in einen Vektorraum als Vektorraum

2) Lineare Unabhängigkeit

1)

Linear unabhängig, da \(v \neq 0\) gilt.
Angenommen \(\alpha \cdot v = 0\) für ein \(\alpha \in K \setminus \{0\}\).
Dann folgt \(\alpha^{-1} \cdot \alpha \cdot v = 1 \cdot v = v\) und \(\alpha^{-1} \cdot 0 = 0\).
Widerspruch, also kann kein \(\alpha \cdot v =0\) mit \(\alpha \neq 0\) existieren.

2)

Linear abhängig, da z.B. \(1 \cdot v = v = 0\) eine Linearkombination mit \(\alpha = 1 \neq 0\) existiert.

3)

Linear abhängig, da gilt

\begin{align*} (y - z) + (z - x) + (x - y) = 0 \end{align*}

4)

linear unabhängig.
Angenommen es existiert

\begin{align*} \alpha \cdot (y + z) + \beta (z + x) + \gamma (x + y) =& 0 \end{align*}

dann gilt insbesondere auch wegen der linearen unabhängigkeit von \(x,y,z\) auch

\begin{align*} (\alpha + \beta) z =& 0 \\ (\beta + \gamma) x =& 0 (\alpha + \gamma) y =& 0 \end{align*}

bzw. \(\alpha + \beta = 0, \beta + \gamma = 0, \alpha + \gamma = 0\).
Damit gilt \(\alpha = - \beta, \beta = - \gamma, \alpha = - \gamma\) bzw. \(\alpha = - \alpha\)
Wegen \(\mathrm{char}(K) = 0\), d.h. \(2 \neq 0\) in \(\mathbb{Q}\) folgt dann \(\alpha = 0\) (analog \(\beta = 0, \gamma = 0\))

5)

gegeben eine Linearkombination

\begin{align*} \alpha \cdot (x + y + z) + \beta (y + z) + \gamma (z) = 0 \end{align*}

so erhalten wir dann

\begin{align*} \alpha x + (\alpha + \beta) y + (\alpha + \beta + \gamma) z =& 0 \end{align*}

Da \(x,y,z\) linear unabhängig sind, folgt \(\alpha = 0, \alpha + \beta = 0, \alpha + \beta + \gamma = 0\) und wir können schrittweise folgern

\(\beta = 0\)
\(\gamma = 0\)

6)

Linear unabhängig:

Angenommen \(\lambda_1 x, \lambda_2 y, \lambda_3 z\) sind linear abhängig.
Dann existiert eine linearkombination

\begin{align*} \alpha_1 \cdot (\lambda_1 \cdot x) + \alpha_2 \cdot (\lambda_2 \cdot y) + \alpha_3 \lambda_3 z =& 0 \end{align*}

Dann gilt insbesondere

\begin{align*} (\alpha_1 \cdot \lambda_1) \cdot x + (\alpha_2 \cdot \lambda_2) \cdot y + (\alpha_3 \lambda_3) z =& 0 \end{align*}

und da \(x,y,z\) linear unabhängig sind, folgt dass \(\alpha_i \cdot \lambda_i = 0\) gilt.
Da \(\lambda_i \neq 0\) gilt, folgt auch \(\alpha_i = 0\) für alle \(i \in I\)

3) Lineare Abhängigkeit und Linearkombination

a)

Nach Annahme existiert eine Linearkombination

\begin{align*} 0 =& \lambda_1 u + \lambda_2 v \end{align*}

mit \(\lambda_1 \neq 0 \lor \lambda_2 \neq 0\)

Dann gilt

\begin{align*} - \lambda_1 u = \lambda_2 v \end{align*}

Zudem gilt \(\lambda_2 \neq 0\), da dies zu einem Widerspruch führen würde, schließlich gilt \(u \neq 0\) und dann \(\lambda_1 \neq 0\) (da mind. ein Skalar \(\lambda_1\) oder \(\lambda_2\) ungleich null sind)
Somit erhalten wir

\begin{align*} \frac{- \lambda_1}{\lambda_2} u = v \end{align*}

und \(\frac{- \lambda_1}{\lambda_2}\) genügt als \(\lambda\)

b) + c)

Linear abhängige Menge und Linearkombination

d)

Wegen \(u \neq 0\) ist \(\{u\}\) linear unabhängig.

Da \(\{u,v\}\) linear abhängig ist existiert eine Linearkombination

\begin{align*} v = \lambda \cdot u \end{align*}

4) Erzeugter VR

Es gilt nach Konstruktion

\begin{align*} \langle u_1,...,u_n\rangle \subseteq \langle u_1,...,u_n,u_{n+1}\rangle \end{align*}

weil jedes Element in der Linken Seite eine Linearkombination von \(u_1,...,u_n\) ist und damit auch insbesondere eine Linearkombination von \(u_1,...,u_n,u_{n+1}\) ist (indem man den Skalar vor \(u_{n+1}\) auf \(0\) setzt)

Sei ferner eine Linearkombination

\begin{align*} v = \sum_{i=1}^{n+1} \alpha_i u_{i} \in \langle u_1,...,u_n,u_{n+1}\rangle \end{align*}

gegeben.

Nach Annahme gilt \(u_{n+1} = \sum_{i=1}^n \beta_i u_i\) und somit gilt \(\alpha_{n+1} u_{n+1} = \alpha_{n+1} \cdot \sum_{i=1}^n \beta_i u_i = \sum_{i=1}^n \alpha_{n+1} \beta_i u_i\)

Damit folgt

\begin{align*} v = \sum_{i=1}^n (\alpha_i + \alpha_{n+1} \beta_i) u_i \end{align*}

d.h. \(v\) ist eine Linearkombination von \(u_1,...,u_{n}\) und liegt damit auch in \(\langle u_1,...,u_n,u_{n+1}\rangle\)

Kommentare

Mittwoch

Ich habe die Aufgabe 1 und die Hälfte der 2 gemacht.
Im Wesentlichen bin ich zufrieden, vermutlich hätte ich etwas mehr Zeit für die Aufgabe 2. (und weniger für die Aufgabe 1) geben sollen.

"Natürliche VR-Struktur" hätte ich wohl früher erklären sollen, die Aufgabe 3.4 hätte ich gerne etwas ausführlicher erklärt.

Donnerstag

Footnotes:

Natürlich ist hier kein mathematisch präziser Begriff und meint eher kanonisch, d.h. meist eine Struktur, ohne (wirklich) eine Wahl zu treffen.

hier betrachten wir \(\mathbb{Q}\), damit wir nicht über die Charakteristik des Körpers nachdenken müssen.