Basis der Menge der Homomorphismen
1. Lemma
Seien \(V,W\) K-Vektorräume und \(\mathrm{Hom}_{K}(V,W)\) ein Vektorraum (siehe: Lemma). Seien zusätzlich \(\{v_1,...,v_n\} \subseteq V\) und \(\{b_1,...,b_m\} \subseteq W\) Basen. Sei zuletzt \(e_{ij}\) ein Vektorraumhomomorphismus und eindeutig (Lemma) definiert durch
\begin{align*} e_{ij}(v_k) =& \begin{cases} 0 & \mbox{if } j \neq k \\ w_i & \mbox{if } j = k \\ \end{cases} \end{align*}bzw:
\begin{align*} e_{ij}(v_k) = \delta_{jk} a_i \end{align*}(siehe: Kronecker-Delta Symbol) Dann ist \(\{e_{11},...,e_{mn}\}\) eine Basis von \(\mathrm{Hom}_K(V,W)\)
2. Beweis
2.1. Erzeugendensystem
Lemma über die Existenz und Eindeutigkeit eines Homomorphismus durch die Abbildungen der Basen Sei \(f(a_j) = \sum_{i=1}^{m} \alpha_{ij} b_i\) ein Homomorphismus in \(\mathrm{Hom}_{K}(V,W)\) Dann lässt sich folgende Linearkombination konstruieren:
\begin{align*} g = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \alpha_{ij} e_{ij} \end{align*}Auswertung für \(a_j\) ergibn
\begin{align*} g(a_j) =& \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \alpha_{ij} e_{ij} (a_j)\\ =& \sum_{i=1}^{m} \alpha_{ij} b_i \\ \end{align*}\(\leadsto g = f\) aufgrund der Basisabbildung
2.2. Linear Unabhängig
Sei
\begin{align*} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \beta_{ij}e_{ij} = 0 \end{align*}Evaluation von \(e_{ij}\) ergibt
\begin{align*} 0 =& \sum_{i=1}^{m} \beta_{ij}b_i \end{align*}Aus der Definition von \(b_i\) als Basis folgt, dass \(b_i\) lineare unabhängig und damit auch \(e_{ij}\)