Darstellende Matrix bestehend aus Einheitsmatrix und Nullmatrix

Da der Kern ein endlich erzeugter Untervektorraum ist (siehe Kern als linearen Unterraum) wähle man eine Basis \(\{u_1,...,u_k\}\) für den Kern (Existenz einer Basis in einem endlich erzeugten Vektorraum).
Diese erweitere man dann durch \(v_{k+1},...,v_n\) zu einer Basis von \(V\) (siehe: Austauschsatz von Steinitz) und wähle dann \(\phi(v_i)\) als einen Teil der Basis von \(W\) und erweitere diesen durch \(w'_i\)
Dabei gilt zu zeigen: \(\phi(v_i)\) ist linear unabhängig:
angenommen nicht, so gilt

\begin{align*} 0 =& \sum_{i}^{} \alpha_i \phi(v_i) \\ 0 =& \phi(\sum_{i}^{} \alpha_i v_i) \end{align*}

D.h. \(\sum_{i}^{} \alpha_i v_i \in \mathrm{ker}(\phi)\) und es gilt nach Konstruktion, dass \(\{u_1,...,u_k,v_{k+1},...,v_n\}\) Linear abhängig ist