Determinante der Adjunkte

Für die Multiplikation einer Matrix mit der Adjunkte gilt:

\begin{align*} A \cdot \mathrm{adj}(A) =& \det(A) \cdot E_n \end{align*}

Für die Determinante gilt dann

\begin{align*} \det(A \cdot \mathrm{adj}(A)) = \det(A)^{n} \end{align*}

und nach dem Determinantenproduktsatz gilt dann

\begin{align*} \det(A) \cdot \det(\mathrm{adj}(A)) =& \det(A)^n \\ \det(\mathrm{adj}(A)) =& \det(A)^{n-1} \end{align*}

Für \(A = 0\) trivial
Für \(A \neq 0\) gilt

\begin{align*} \forall i,j : \sum_{k=1}^{n} A_{i,k} \cdot \adj(A)_{k,j} = 0 \end{align*}

daraus folgt

\begin{align*} \det(\mathrm{adj}(A)) = 0 = 0^{n-1} \end{align*}