glueing lemma for a locally finite, closed covering

Seien \((X, \mathcal{T})\) und \((X', \mathcal{T}')\) topologische Räume und \(A_i \subseteq X\) abgeschlossene Mengen mit einer lokalendlichen Überdeckung \(\bigcup_{i =1}^n A_i = X\). Seien \(f_{A_i}: A_i \rightarrow X'\) stetige Abbildungen, so dass für \(A_{i,i'} \coloneqq A_i \cap A_{i'} \neq \emptyset\) gilt

\begin{align*} f_{A_i \vert A_{i,i'}} = f_{A_{i'} \vert A_{i,i'}} \end{align*}

Dann existiert eine eindeutige, stetige Abbildung

\begin{align*} g: X \rightarrow X' \end{align*}

mit

\begin{align*} g_{\vert A_i} = f_{A_i} \end{align*}

Wir konstruieren unsere Abbildung folgendermaßen: Sei \(a \in X\), so existiert insbesondere wegen \(\bigcup_{i \in I} A_i = X\) ein \(A_i\) mit \(x \in A_i\) Dann sei \(g(a) = f_{A_i}(a)\). Diese Abbildung ist linkstotal wegen \(\bigcup_{i \in I} A_i = X\) und rechtseindeutig wegen der Forderung \(f_{A_i \vert A_i \cap A_{i'}} = f_{A_{i'} \vert A_{i} \cap A_{i'}}\) Bleibt die Stetigkeit nach dem Satz über die Urbilder abgeschlossene Mengen unter stetigen Abbildungen zu zeigen: Sei \(O' \subseteq X'\) abgeschlossen, so gilt für das Urbild nach Konstruktion:

\begin{align*} g^{-1}[O'] =& \bigcup_{i \in I} f_{A_i}^{-1}[O'] \end{align*}

Dabei ist \(f^{-1}_{A_i}[O']\) abgeschlossen in \(X\) wegen der Übertragung der Abgeschlossenheit von der Unterraumtopologie - schließlich ist \(A_i\) nach Annahme abgeschlossen Zudem ist \(f_{A_i}^{-1}[O'] \subseteq A_i\) lokalendlich Damit folgt aus der Abgeschlossenheit der lokalendlichen Vereinigung von abgeschlossenen Mengen, dass \(g^{-1}[O']\) abgeschlossen ist und damit \(g\) stetig.