LinAlg 1 - Tut2

Erinnerung

disclaimer

Diese Erinnerung dient primär als Hilfe für die Tutoriumsaufgaben.

Insbesondere ist diese weder vollständig (ich habe leider als Tutor auch keine genauen Informationen zu den Vorlesungsinhalten) noch i.A. korrekt (ich habe viele Zettel selber während des ersten Semesters geschrieben und selten gegengelesen, d.h. jedes Buch wird um Größenordnungen weniger Fehler beinhalten)

Liste

Bild
Urbild
Komposition von Abbildungen - auf Reihenfolge achten !
surjektiv

Aufgaben

1)

Sei \(f: A \rightarrow B\) eine Abbildung und \(f[A]\) das Bild.

Finde eine Surjektion \(f: A \rightarrow f[A]\)

2)

Sei \(f: A \rightarrow B\) eine Abbildung, \(U \subseteq A, V \subseteq B\) Teilmengen.
Zeige für das Bild und das Urbild

a)

\begin{align*} U \subseteq& f^{-1}[f[U]] \\ \end{align*}

b)

\begin{align*} f[f^{-1}[V]] \subseteq& V \end{align*}

c)

Finde ein Beispiel für \(f: A \rightarrow B\) so dass \(f[f^{-1}[V]] \subsetneq V\) eine echte Teilmenge ist.

Finde ein Beispiel für \(f: A \rightarrow B\) so dass \(U \subsetneq f^{-1}[f[U]]\) eine echte Teilmenge ist.

3)

Seien

\begin{align*} g: A \rightarrow& B \\ f: B \rightarrow& C \end{align*}

Abbildung zwischen Mengen \(A,B,C\)

a)

Angenommen \(g\) und \(f\) sind surjektiv.
Zeige dass \(f \circ g\) surjektiv ist.

b)

angenommen \(g\) und \(f\) sind injektiv
Zeige dass \(f \circ g\) injektiv ist.

c)

Angenommen \(f \circ g\) ist injektiv.
Zeige dass \(g\) injektiv ist.

d)

Angenommen \(g \circ f\) ist surjektiv.
Zeige dass \(f\) ist surjektiv

e)

Angenommen \(g \circ f\) ist surjektiv.
Ist dann \(f\) immer surjektiv.
Angenommen \(g \circ f\) ist injektiv.
Ist dann \(g\) immer surjektiv.

Hint für e)
Überlege dir Abbildungen

\begin{align*} \{1\} \rightarrow& \{a,b\} \\ \{a,b\} \rightarrow& \{1\} \end{align*}

Kommentare

Übungsblatt

Ich halte die Aufgaben 1.3, 3 und 4 für ziemlich schwierig.
Macht euch keinen Kopf, wenn ihr diese nicht schafft.

Die anderen Aufgaben (1.1, 1.2 und 2) dürften gut machbar sein.

Mittwochstutorium

Ich finde wir sind gut durch die Aufgaben gekommen.

Ich hatte leider paar Fehler (verdrehte Mengen) in den Aufgaben (und auch Anfangs bei der Erinnerung auf der Tafel).
Zudem hatte ich technische Probleme, die Aufgaben hochzuladen :(

Donnerstagstutorium

Wir sind vergleichbar gut durch die Aufgaben gekommen (wenn auch etwas über die Zeit).
Wir hatten ein paar mehr Fragen, bei denen ich mir nicht sicher bin, wie gut ich sie beantworten konnte.

Lösungsskizze

1)

Abbildung induziert surjektion auf das Bild

2)

Betrachte

3)

a) + b)

Komposition von Abbildungen und Surjektivität/Injektivität

c) + d)

e)

Jedes Paar von Abbildung ist hier ein Gegenbeispiel :)

Meinung zu Andreis AUfgaben

1)

Ich halte Aufgabe 1.1 und 1.2 für gut machbar und gute Übungen zu Mengen.
Die 1.2 ist etwas technisch und formal gestellt.

2)

Ich halte die Aufgabe 2 für ganz schön und auch am wichtigsten für die Vorlesung.

3)

Die Aufgabe 3 ist zwar schön und hat eine anschauliche Lösung, ist aber etwas technisch gestellt und im Vergleich zu den anderen Aufgaben nicht so relevant.
Wenn man sich sicher mit Relationen fühlt, dann würde ich empfehlen, andere Aufgaben zu machen.

4)

Ich bin mir bei der Aufgabe unsicher, welche genaue Definition von der Kardinalität gegeben wurde
intuitiv dürfte die Aufgabe hoffentlich klar sein (Wenn ich die Elemente von \(A \cup B\) zähle, dann kann ich auch die Elemente von \(A\) und dann von \(B\) zählen und die doppelt gezählten \(A \cap B\) abziehen)
Die Formale Beweisführung der anderen Aufgaben dürfte wichtiger sein.