Diagonalisierbarkeit und Zerfallen des Charakteristischen Polynoms mit geometrischer Vielfachheit
1. Satz
Sei \(V \cong K^n\) ein endlich erzeugter K-Vektorraum und \(A \in \mathrm{End}_{K}(V)\) mit \(\alpha \in \sigma(A)\). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
- \(A\) ist diagonalisierbar
- das charakteristische Polynom zerfällt über \(K\) mit den Eigenwerten als Nullstellen mit algebraische Vielfachheit gleich der geometrische Vielfachheit
2. Beweis
2.1. a) diagonalisierbar \(\Rightarrow\) Zerfallen
Nach Annahme gilt \(V \cong K^n \cong \bigoplus_{i=1}^r V(\alpha_j)\) für Eigenwerte \(\alpha_i\). Diese sind genau die Nullstellen des charakteristisches Polynoms \(f_A\), d.h. es gilt:
\begin{align*} f_A = \prod_{i=1} (x - \alpha_i)^{n_i}, n_i \in \mathbb{N} \end{align*}mit der Vielfachheit \(n_i\) Sei \(\overline{A}\) die Diagonalmatrix von \(A\), so
2.2. b) Zerfallen \(\Rightarrow\) diagonalisierbar
Sei \(f_A \coloneqq \prod_{i=1}^r (x - \alpha_i)^{n_i}\) mit \(\alpha_1,...,\alpha_r\) als verschiedene Eigenwerte von \(A\) und \(\mathrm{dim}_{K}V(\alpha_i)= v(A,\alpha_i) = n_i\) für \(i \in \{1,..,r\}\). Für den Untervektorraum \(U = \bigoplus_{i=1}^r V(\alpha_i) \subseteq V\) ist dann \(\mathrm{dim}_{k}(U) = \sum_{i=1}^{r} n_i = \mathrm{deg}(f_A) = n\) und damit gilt dann:
\begin{align*} U = \bigoplus_{i=1}^r V(\alpha_i) = V \end{align*}