hausdorffsche Lokalkompaktheit und kleinere kompakte Umgebungen
1. Satz
Sei \((X, \mathcal{T})\) ein Hausdorff- Raum. TFAE:
- \(X\) ist lokalkompakt
- für jede Umgebung \(U\) von \(x\) existiert eine Kompakte Umgebung \(K\) von \(x\) mit \(K \subseteq U\)
2. Beweis
2.1. 1) \(\implies\) 2)
Sei \(K\) eine Kompakt Umgebung und \(U\) eine beliebige Umgebung von \(x\). Dann existiert in der Unterraumtopologie von \(K\), welche ein T3-Raum ist (vgl. kompakter Hausdorff-Räume als T3-Raum, Vererbung der T2-Eigenschaft), nach der Äquivalente Charakterisierung eines T3-Raums abgeschlossene Umgebung \(A \subseteq K \cap U\). Wegen der Übertragung von Umgebungen in der Unterraumtopologie ist \(A\) auch eine Umgebung in \(X\) und nach der Kompaktheit abgeschlossener Mengen kompakter Räume ist \(A\) auch in \(X\) Kompakt.
2.2. 2) \(\implies\) 1)
Folgt aus der Wahl \(U = X\)