LinAlg 1 - Tut1

Erinnerung

disclaimer

Diese Erinnerung dient primär als Hilfe für die Tutoriumsaufgaben.

Insbesondere ist diese weder vollständig (ich habe leider als Tutor auch keine genauen Informationen zu den Vorlesungsinhalten) noch i.A. korrekt (ich habe viele Zettel selber während des ersten Semesters geschrieben und selten gegengelesen, d.h. jedes Buch wird um Größenordnungen weniger Fehler beinhalten)

Liste

Axiom of extensionality
Teilmenge
Vereinigung \(\bigcup\)
Schnitt \(\bigcap\)
absolute Komplement \(\overline{A}\) bzw. \((-)^{\mathrm{c}}\)
Abbildung

Aufgaben

1)

Sei \(X\) eine Menge, \(B \subseteq X\) eine Teilmenge und \(A_i \subseteq X\) eine Familie von Teilmengen

Zeige

\begin{align*} (\bigcup_{i \in I} A_i) \cap B =& \bigcup_{i \in I} (A_i \cap B) \\ (\bigcap_{i \in I} A_i) \cup B =& \bigcap_{i \in I} (A_i \cup B) \end{align*}

2)

für eine Abbildung \(f: X \rightarrow Y\) ist ein Linksinverses eine Abbildung \(g: Y \rightarrow X\) so dass die Verknüpfung

\begin{align*} g \circ f = \mathrm{id}_X \end{align*}

ergibt.

Dual ist ein Rechtsinverses eine Abbildung \(g: Y \rightarrow X\) so dass gilt

\begin{align*} f \circ g = \mathrm{id}_Y \end{align*}

Zeige dass folgende Aussagen äquivalent sind

a)

\(f\) ist injektiv
\(f\) hat ein Linksinverses

b)

\(f\) ist surjektiv
\(f\) hat ein Rechtsinverses

c)

Folgere dass äquivalent sind

\(f\) ist bijektiv
\(f\) hat ein beidseitig inverses, d.h. eine Abbildung \(g\) welche sowohl Links- als auch Rechtsinverses ist.

3)

Zeige für das absolute Komplement

\begin{align*} \overline{(\bigcup_{i \in I} A_i)} =& \bigcap_{i \in I} \overline{A_i} \\ \overline{(\bigcap_{i \in I} A_i)} =& \bigcup_{i \in I} \overline{A_i} \\ \end{align*}

4)

Sei \(X\) eine Menge, \(\{w,f\}\) eine Menge mit 2 Elementen.

Sei \(\mathrm{Abb}(X, \{w,f\})\) die Menge mit genau den Abbildungen \(f: X \rightarrow \{w,f\}\) als Elementen.

Sei \(\mathcal{P}(X)\) die Potenzmenge.

Finde eine Bijektion

\begin{align*} \mathrm{Abb}(X, \{w,f\}) \rightarrow \mathcal{P}(X) \end{align*}

5)

Seien \(U_1, U_2 \subseteq X\) und \(V_1,V_2 \subseteq Y\) Teilmengen und \(f: X \rightarrow Y\) eine Abbildung
Zeige oder wiederlege

\(f[U_1 \cup U_2] = f[U_1] \cup f[U_2]\)
\(f[U_1 \cap U_2] = f[U_1] \cap f[U_2]\)
\(f^{-1}[V_1 \cup V_2] = f^{-1}[V_1] \cup f^{-1}[V_2]\)
\(f^{-1}[V_1 \cap V_2] = f^{-1}[V_1] \cap f^{-1}[V_2]\)

Kommentare zu meinem eigenen Tutorium

Mittwochstutorium

Ich denke ich war zu schnell und auch zu formal.
Wenn ich zu schnell bin, ist das mein Fehler (und nicht eurer).
Ich hätte paar mehr Bilder malen sollen, die Sachen intuitiver erklären.
Ich hätte etwas expliziter die grundlegenden Beweistechniken erklären sollen.
Das tut mir Leid.

Ich war auch etwas unsicher (was sich am Donnerstag gelegt hat).

Danke auf jeden Fall an alle, die Fragen gestellt haben, das hat mir das Tutorieren erleichtert.

Paar Sachen die ich etwas ungenau erklärt habe

Bildmenge

Ich habe die Bildmenge für eine Abbildung \(f: X \rightarrow Y\) und eine Teilmenge \(U \subseteq X\) definiert als

\begin{align*} f[U] = \{f(x) \vert x \in U \} \end{align*}

Die Definition ist nicht falsch (wenn man versteht, was sie sagt), sie ist (für den Anfang) etwas nur sloppy.
Eine formellere Definition ist

\begin{align*} f[U] = \{y \in Y \vert \exists x \in U \mathrm{mit} f(x) = y\} \end{align*}

Schnitt und Vereinigung

Das folgende ist eine technische Erklärung (ich war auch im Tutorium verwirrt) und für die Vorlesung nicht weiter wichtig.

Sei

\begin{align*} \bigcap_{i \in I} (A_i \cup B) \subseteq (\bigcap_{i \in I} A_i) \cup B \end{align*}

zu zeigen.

Sei \(x \in \bigcap_{i \in I} (A_i \cup B)\) ein Element.
Dann gilt für beliebiges \(i \in I\) auch \(x \in (A_i \cap B)\).

Hier funktioniert eine Fallunterscheidung \(x \in A_i\) oder \(x \in B\) (vermutlich) nicht.
Das Problem ist, dass im Fall \(x \in A_i\) a priori nur gegeben ist, dass \(x \in A_i\) für dieses eine \(i\) - und nicht alle \(i \in I\) - gilt.
Damit kann man leider nicht dass \(\bigcap\) einführen.

Ich denke, dass man hier einen Widerspruchsbeweis braucht (also über \(x \in B\) oder \(x \not\in B\)).
siehe:

Schnitt von den Vereinigungen

Gleichheit von Mengen und Abbildungen

Ob für eine Abbildung \(f: X \rightarrow Y\) \(X\) und \(Y\) unterschiedliche Elemente haben ist i.A. unwichtig.
Man z.B. auch für den Fall \(X = Y\) (also alle Elemente im einen sind die Elemente vom anderen) abbildungen

\begin{align*} f: X \rightarrow X \end{align*}

konstruieren, z.b

\begin{align*} f: \{1,2\} \rightarrow \{1,2\} \\ 1 \mapsto& 2\\ 2 \mapsto& 1 \\ \end{align*}

Donnerstagstutorium

Ich habe gleich viel wie im Mittwochstutorium geschafft.
Ich denke im wesentlichen konnte ich meine Kritikpunkte ans erste Tutorium umsetzen.

Ich war weniger einschüchternd, die Atmosphäre war entspannter.

Indexmenge und über etwas zu induzieren ist etwas verwirrend erklärt, das über eine Abbildung zu definieren ist mathematisch die formelle Art und Weise, aber unintuitiv.

Es hat mich gefreut, dass viele von euch so aktiv und motiviert dabei waren.

Und auch lustige Morel Zitate könnt ihr mir gerne mitteilen :)

Lösungsskizzen

1)

2)

3)

complement dualizes union and intersection

4)

5)

Kommentar zu den Lösungsskizzen

Die Lösungen im Tutorium waren sehr kleinschrittig und formal.
Die Skizzen hier sind dagegen informeller und kürzer.

Im Laufe des Semesters (und Studium) werden die Beweise immer weniger kleinschrittig (sowohl in der VL als auch das was von euch verlangt ist), weil mit der Zeit erwartet wird, dass ihr diese auch prinzipiell ausfüllen könntet (wenn ihr müsstet)

Meinung zu Andreis Aufgabensammlung

1)

Aufgabe 1.1 und 1.2 halte ich für am wichtigsten.
Aufgabe 1.3 und 1.4 sind auch sehr gute Übungen.
Die Aufgaben zur symmetrischen Differenz (5 - 11) sind hilfreich, wenn man mehr Übung zu Mengen haben möchte.
Wenn man sich aber sicher mit Mengen fühlt, kann (sollte ?) man lieber stattdessen andere Aufgaben machen.
Die Aufgabe 1.12 ist wieder eine sehr gute Aufgabe.

2)

Ich halte v.a. die Richtung "hat links (rechts-) inverses impliziert injektiv (surjektiv)" für sehr wichtig.
Die andere Richtung ist auch eine gute Übung, aber etwas technischer.

3)

Ich halte diese Aufgabe für relativ schwierig und auch nicht (direkt) wichtig.
Dennoch finde ich sollte man den Lösungsweg gesehen haben:
Man weiß nichts über die Menge \(X\) und macht "das einzige was man irgendwie machen kann" und es funktioniert.
In (Linearer) Algebra sind Beweise häufig ähnlich, dass man fast keine Annahmen hat und daraus etwas konstruieren muss.

4)

Die letzte Aufgabe ist zwar eine nette Knobelaufgabe, aber ich hatte noch nie eine vergleichbare Aufgabe / Aussage im Bachelor gesehen.
Ich würde diese nur dann machen, wenn ich Spaß/Interesse daran habe.