LinAlg 1 - Tut4

Erinnerung

disclaimer

Diese Erinnerung dient primär als Hilfe für die Tutoriumsaufgaben.

Insbesondere ist diese weder vollständig (ich habe leider als Tutor auch keine genauen Informationen zu den Vorlesungsinhalten) noch i.A. korrekt (ich habe viele Zettel selber während des ersten Semesters geschrieben und selten gegengelesen, d.h. jedes Buch wird um Größenordnungen weniger Fehler beinhalten)

Liste

Aufgabe

1) diverse Finegrübungen

Seien \((G,\cdot), (H, \cdot)\) Gruppen und \(\varphi: G \rightarrow H\) ein Gruppenhomomorphismus.

a) Inverse unter Gruppenhomomorphismen

Sei \(g \in G\).
Zeige

\begin{align*} \varphi(g^{-1}) = \varphi(g)^{-1} \end{align*}

b) Gruppenhom. in eine größere Symetrische Gruppe

Sei \(\sigma_{3}, \sigma_{4}\) die Symmetrische Gruppe (d.h. Bijektionen \(\{1,2,3\} \rightarrow \{1,2,3\}\) mit Komposition als Verknüpfung resp. \(\{1,2,3,4\}\)).
Finde zwei Gruppenhomomorphismen

\begin{align*} \psi, \psi' \sigma_3 \rightarrow \sigma_4 \end{align*}

c) untergruppe einer abelschen Gruppe als Normalteiler

Sei \((G,+)\) eine abelsche Gruppe und \(H \subseteq G\) eine Untergruppe.
Zeige, dass \(H\) ein normalteiler ist

2) Kriterium für eine Untergruppe

Sei \((G,\circ)\) eine Gruppe und \((U, \circ)\) mit \(U \subseteq G\) und \(U \neq \emptyset\)
\((U, \circ)\) ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt

\begin{align*} \forall a,b \in U \Rightarrow a \circ b^{-1} \in U \end{align*}

3) minimaler kern und injektiv

Seien \((G, \cdot), (H, \cdot)\) Gruppen \(\varphi: G \rightarrow H\) ein Gruppenhomomorphismus.
Zeige dass äquivalent sind

\(\varphi\) ist injektiv, d.h. ein Gruppenmonomorphismus
\(\mathrm{ker} = \{0\}\) ist die Nullgruppe

4) Opposite Group

Sei \((G,\cdot)\) eine Gruppe. Definiere \((G, \cdot^{\mathrm{op}})\) mit

\begin{align*} g_1 \cdot^{\mathrm{op}} g_2 \coloneqq g_2 \cdot g_1 \end{align*}

a) opposite group als gruppe

Zeige dass \((G, \cdot^{\mathrm{op}})\) eine Gruppe ist.
Wir nennen diese Konstruktion im Folgenden die Opposite Group.

Man bemerke, dass zwar die zugrunde liegende Menge \(G\) gleich ist, es aber i.A. dennoch zwei verschiedene Gruppen sind.

b) opposite group einer abelschen gruppe

Angenommen \((H,+)\) ist abelsch und \((H, +^{\mathrm{op}})\) die Opposite group.
Wie sieht \((H,+^{\mathrm{op}})\) aus ?

c) inveres als gruppenhom.

Sei

\begin{align*} (-)^{-1}: G \rightarrow& G \\ g \mapsto& g^{-1} \end{align*}

Zeige dass \((-)^{-1}\) ein Gruppenhomomorphismus von \((G, \cdot)\) nach \((G, \cdot^{\mathrm{op}})\) ist.

d) inverse bilden als isomorphismus

Zeige dass \((-)^{-1}\) ein Gruppenisomorphismus ist.

e) abelsche gruppe und Inverse

Sei

\begin{align*} (-)^{-1}: G \rightarrow& G \\ g \mapsto& g^{-1} \end{align*}

die Abbildung.
Zeige dass äquivalent sind.

\((-)^{-1}\) ist ein Gruppenhomomorphismus von \((G,\cdot)\) nach \((G,\cdot)\)
\((G,\cdot)\) ist eine abelsche gruppe

Lösungsskizzen

1) diverse Finegrübungen

a) Inverse unter Gruppenhomomorphismen

inverse unter monoidhomomorphismen

b) Gruppenhom. in eine größere Symetrische Gruppe

Die wohl "einfachsten" Gruppenhomomorphismen sind

die Nullabbildung als Gruppenhomomorphismus

\begin{align*} \iota_4: \sigma_3 \rightarrow& \sigma_4 \\ (f: \{1,2,3\} \rightarrow \{1,2,3\}) \mapsto& \left(f \coprod \mathrm{id}_{\{4\}}: x \mapsto \begin{cases} f(x) & \mbox{if } x \in \{1,2,3\} \\ 4 & \mbox{else } \\ \end{cases} \right) \end{align*}

c) untergruppe einer abelschen Gruppe als Normalteiler

Seien \(g \in G\) und \(h \in H\).
Dann gilt

\begin{align*} - g + h + g =& h + (-g) + g \\ =& h + (- g + g) \\ =& h + 0 \\ =& h \end{align*}

alternativ: Normalteiler in Abelschen Gruppen

2) Kriterium für eine Untergruppe

criteria for a subgroup]]

3)

minimal kernel and monomorphism]]

4) Opposite Group

Kommentare

Mittwoch

Ich finde, dass ich dieses mal - dadurch dass ich etwas durchgegangen bin - einen besseren Eindruck hatte, wo Schwierigkeiten liegen.
Die Aufgabe 1b) war schwieriger als gedacht, vermutlich auch weil es ziemlich abstrakt ist, eine Abbildung zwischen Mengen von Abbildungen anzugeben.
Mir ist später aufgefallen, dass die Aufgabe 3)

Ich hätte noch gerne die Aufgabe 2) besprochen, aber dafür hat leider die Zeit gefehlt.

Donnerstag

Im Tutorium habe ich etwas mehr Zeit gegeben.
Dabei habe ich die Aufgabe 1b) (Homomorphismen \(S_3 \rightarrow S_4\)) ausgelassen

Ich finde aber, ich hätte an einigen Punkten etwas konzentrierter und fokussierter im Tutorium sein können.
Ich habe auch erst relativ spät angefangen, die Zusammenfassung auf die Tafel zu schreiben, da hätte ich etwas früher da sein können.

Meinung zu Andreis Aufgaben

1)

Halte ich jeweils für nette Aufgaben, um Gruppen zu üben.
Ich habe die als Aufgabe 4) aufgenommen, weil meiner Meinung nach die Aufgaben 1a) und c) wichtiger sind (auch wenn ich später erfahren habe, dass die 1a) schon in der VL besprochen wurde :/)

2)

Wenn man möchte, kann man mit dieser Aufgabe v.a. mengentheoretische Operationen (und etwas Gruppen) einüben.
Aber die Symmetrische Differenz ist, wenn man sie formal behandelt, relativ technisch.

3)

Die Aufgabe 3.1 habe ich im 3. Tutorium vorgestellt.
Die Aufgabe 3.2 und 3.3 werden schön eingeführt und sind gute Übungen für Gruppen, aber (vermutlich) nicht besonders wichtig für die weitere Vorlesung.

Ich habe die 3.2 in schwierigerer Form als 1 b), vermutlich ist das hier so didaktisch besser gestellt.

4)

Aufgabe 4.1 habe ich im 3. Tutorium aufgegeben.

Die Aufgabe 4.2 ist wohl etwas schwieriger, aber eine schöne Übung.

Allgemein darf man sich bei der symmetrischen Gruppe nicht verwirren lassen.