Kriterien zum Nachweisen einer Basis
List
Sei 
ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und 
eine Menge von Vektoren.
a) Nachrechnen: Erzeugendensystem + Dimension
Man kann zeigen:
a) die Dimension von ist gegeben durch 
(im wohl häufigsten Fall 
kann man das wohl ablesen)
b) ist ein Erzeugendensystem eines Vektorraums
Nach der Äquivalenz von Basis, minimales Erzeugendensystem und maximal linear unabhängige Teilmenge
b) Nachrechnen: Linear Unabhängig + Dimension
Man kann zeigen:
a) die Dimension von ist gegeben durch (im wohl häufigsten Fall kann man das wohl ablesen)
b) ist lineare unabhängig
Nach der Äquivalenz von Basis, minimales Erzeugendensystem und maximal linear unabhängige Teilmenge
c) invertierbare Abbildung: 
als Spalten
eine Basis von 
istd) Determinantenkriterium für Matrix mit als Spalten
Für den Fall kann man die Matrix
ausschreiben und die Determinante ausrechnen.
Dann ist eine Basis g.d.w. 
da 
zu der Abbildung 
aus der c) korrespondiert und ein VR-Hom. 
invertierbar ist gdw die korrespondierende Matrix nichtnull determinante hat .
e) Determinantenkriterium für Matrix mit als Zeilen
Für den Fall kann man die Matrix
ausschreiben und die Determinante ausrechnen.
Dann ist wegen 
und der d) das Tupel eine Basis gdw 
f) Nachrechnen: Linear Unabhängig und Erzeugendensystem
man kann natürlich auch die Definition nachrechnen.
Negation
Das "funktioniert" bezieht sich im folgenden auf den Fall, dass keine Basis ist.
a) Dimensionsgründe (funktioniert manchmal)
Falls 
kann keine Basis sein.
b) nicht linear unabhängig (funktioniert oft)
selbsterklärend
c) kein erzeugendensystem (funktioniert oft)
selbsterklärend
d) Determinante (funktioniert im Fall immer)
Falls kann man auch nachrechnen dass die Matrix bzw. 
aus der d) bzw. e) 
bzw. äquivalent 
erfüllt.