closure and continuous maps

Beweis durch Widerspruch: Sei \(f\) stetig aber das Kriterium ist verletzt: D.h. es existiert eine Menge \(A \subseteq X'\) mit \(a \in \overline{A} \setminus A\), so dass gilt:

\begin{align*} f(a) \not\in \overline{f[A]} \end{align*}

Da der Abschluss abgeschlossen ist, folgt dass \(X' \setminus \overline{f[A]}\) offen ist und damit eine Umgebung von \(f(a)\) Dabei ist aber \(X \setminus \overline{A}\) offen mit \(a \not\in X' \setminus \overline{A}\). Damit folgt, dass das Urbild \(f^{-1}[X' \setminus \overline{f[A]}]\) keine Umgebung ist, d.h. Urbilder von Umgebungen unter stetigen Abbildungen ist verletzt

Beweis durch Widerspruch: Sei \(f\) nicht stetig, so existiert nach der Aussage über das Urbild einer abgeschlossene Mengen unter stetigen Abbildungen eine abgeschlossene Menge \(B \subseteq X'\), so dass \(A \coloneqq f^{-1}[B]\) nicht abgeschlossen ist. Da \(B\) nach Annahme abgeschlossen ist, gilt \(\overline{B} = B\) (siehe: Abschluss als kleinste abgeschlossene Menge)

Wegen des Abschluss als abgeschlossene Menge und des Abschluss als Obermenge gilt auch für die nicht abgeschlossene Menge \(A \subsetneq \overline{A}\), d.h. \(\exists a' \in \overline{A} \setminus A\) mit \(f(a) \not\in B\) Daraus folgt aber der Widerspruch zur Annahme, da gilt:

\begin{align*} a' \in& f[\overline{A}] \\ a' \not\in& \overline{f[A]} = f[A] \end{align*}