LinAlg 1 - Tut3
Erinnerung
disclaimer
Diese Erinnerung dient primär als Hilfe für die Tutoriumsaufgaben.
Insbesondere ist diese weder vollständig (ich habe leider als Tutor auch keine genauen Informationen zu den Vorlesungsinhalten) noch i.A. korrekt (ich habe viele Zettel selber während des ersten Semesters geschrieben und selten gegengelesen, d.h. jedes Buch wird um Größenordnungen weniger Fehler beinhalten)
Aufgabe
0)
1)
Sei \((G,\cdot,1)\) eine Gruppe.
Zeige
- für \(g \in G\) ist das inverse Element eindeutig
- \(1 = 1^{-1}\)
- \((g^{-1})^{-1} = g\)
- Angenommen für ein festes \(h \in G\) und beliebiges \(g \in G\) gilt \(hg = g\). Zeige \(h = 1\)
2)
Sei \(M\) eine Menge. \(\mathrm{Bij}(M)\) die Menge der Bijektionen \(f: M \rightarrow M\)
Zeige dass \(\mathrm{Bij}(M)\) eine Gruppe bezüglich \(\circ\) ist.
Wie sieht das neutrale Element aus ?
Hinweis: Für eine Bijektion \(f: M \rightarrow M\) existiert eine Umkehrabbildung.
3)
Sei \(S_3 = \mathrm{Bij}( \{1,2,3\})\) die Gruppe wie in 2) gezeigt.
Finde Elemente \(f,g \in \mathrm{Bij}( \{1,2,3\})\) mit
Folgere: nicht jede Gruppe ist kommutativ
4)
Sei \((G,\cdot,1)\) eine Gruppe und \(U \subseteq G\) eine Untergrupep.
Zeige dass äquivalent
- \(U\) ist eine Untergruppe
- \(U\) ist nichtleer und für \(u_1,u_2 \in U\) gilt \(u_1 \cdot u_2^{-1} \in U\)
Tipp für "2) \(\Rightarrow\) 1)"
Zeige in folgender Reihenfolge (unter Verwendung des Vorherigen)
- \(1 \in U\)
- für \(u \in U\) liegt \(u^{-1} \in U\)
- für \(u_1,u_2 \in U\) ist \(u_1 \cdot u_2 \in U\)
5)
Angenommen \((G,\cdot,1)\) ist ein Kandidat einer Gruppe, gemeint ist hier
- \(\cdot\) ist eine assoziative Verknüpfung
- für alle \(g \in G\) gilt \(g \cdot 1 = g\)
- für alle \(g \in G\) existiert ein \(h_g \in G\) mit \(g \cdot h_{g} = 1\)
D.h. hier nehmen wir insbesondere nicht an, dass
- \(1 \cdot g = g\)
- \(h_g \cdot g = 1\)
gilt.
Zeige dass \((G,\cdot,1)\) dennoch eine Gruppe ist (bzw. die Punkte, die wir nicht annehmen gelten).
Lösungsskizzen
1)
d)
- Eindeutigkeit des Neutralen Elements (nicht von "Monoid" stören lassen falls euch das nichts sagt)
2)
- associativity of function composition - todo
- identität als neutrales element
Kommentare
Mittwochstutorium
Die Tafelanschrift war etwas chaotisch, (teilweise weil ich 2 Tafeln für die Erinnerung brauchte).
Die Lösungen (insbesondere zur Aufgabe 2) war etwas chaotisch aufgeschrieben.
So richtig zufrieden bin ich nicht mit den Aufgaben die ich ausgewählt habe.
Die erste Aufgabe war schwieriger als erwartet, die zweite ist ziemlich technisch und beim ersten mal schwierig anzugehen.
Die dritte Aufgabe fand ich ganz nett.
Ich habe den Eindruck, ich könnte paar mal durchgehen und genauer schauen, wo die Schwierigkeiten liegen.
Ich hatte den Eindruck, dass das Tutorium auch recht still war und ich nicht genug zu Fragen etc. animiert habe.
Donnerstagstutorium
Ich habe die Aufgabe 2 (über Bijektionen) an der Tafel als Beispiel vorgestellt (und nicht rechnen lassen) - ich denke das war sinnvoll.
Dafür habe ich relativ spontan noch die Aufgabe 4 an der Tafel erklärt.
Der Erste Versuch war etwas chaotisch und verwirrend, der zweite war genauer und ist denke ich ganz in ordnung gewesen.
Paar mal war ich bei längeren Antworten verwirrt - ich finde es schwierig, einem mathematischen Argument in echtzeit ohne Anschrift zu folgen.
Das Tutorium war lebendiger als am Mittwoch, was mich gefreut hat.