LinAlg 1 - Tut11

Erinnerung

disclaimer

Diese Erinnerung dient primär als Hilfe für die Tutoriumsaufgaben.

Insbesondere ist diese weder vollständig (ich habe leider als Tutor auch keine genauen Informationen zu den Vorlesungsinhalten) noch i.A. korrekt (ich habe viele Zettel selber während des ersten Semesters geschrieben und selten gegengelesen, d.h. jedes Buch wird um Größenordnungen weniger Fehler beinhalten)

Erinnerung

Vorrechnen

Aufgabe

0) Matrix Multiplikation einüben (nur bei Bedarf)

Sei 20241231-linalg_1_tut11_13b0bc6c4661bcf5c24dc5696cd4b33a22860031.svg der zugrundeliegende Körper.

a)

Berechne

20241231-linalg_1_tut11_d4e2eb2742b2cbde0571d8b397105dbd1badfac0.svg

b)

20241231-linalg_1_tut11_d2304b82a905849bcf41a2bf821a597d2e9a880f.svg

c)

20241231-linalg_1_tut11_f33e6b57f223e619fc0eac2f328ab826b4aed859.svg

d)

20241231-linalg_1_tut11_7f9af1eab4f340d02c31a28c4849b090b3aea51b.svg

1) Beweisaufgabe zur Determinante

a) inverse

Sei 20241231-linalg_1_tut11_e97d8396e8125bc021268f9f190592002d144779.svg invertierbar mit inverser Matrix 20241231-linalg_1_tut11_db1c6428b428c0af71062bf15a0deb01852b3bb2.svg .
Berechne

20241231-linalg_1_tut11_eac2af8743b927c37ddf21fcf47e543fe8525cac.svg

b) kommutiert

Es gilt

20241231-linalg_1_tut11_f5353d69d55565333feffa7ca9371bf9225abe04.svg

c) transponierte Matrix

Sei 20241231-linalg_1_tut11_4106db8bd27054d5d70de46f725e4fb79e65f36a.svg .
Sei 20241231-linalg_1_tut11_7d1f0948ae9bcdbdeb5239747ec39d6136de5907.svg die transponierte Matrix.

Zeige

20241231-linalg_1_tut11_5351137717611dbd8f1326d3a31c98fabf172030.svg

2) determinanten einüben (wenn man sich sicher fühlt - überspringbar)

Berechne die Determinanten von

a)

20241231-linalg_1_tut11_23ea8aecd495ffe9e31bd09c984197dc20d4104c.svg

b)

20241231-linalg_1_tut11_b44ad913437559a1946d4bcecac33d6f1c3efb62.svg

c)

20241231-linalg_1_tut11_dc2638759a1066ae731c9f7ca01a4b2f4c5155f4.svg

d)

20241231-linalg_1_tut11_ad782ce140ea3e45cfc48af25550280f968bd390.svg

3) Zerlegung einer Projektion

Sei 20241231-linalg_1_tut11_8c59c44109d5decdab325f7cb4a8c6ecc33b5d55.svg ein K-Vektorraum und 20241231-linalg_1_tut11_41c13265bab1ff7e4034fbe78408655f6d9bb6f0.svg ein idempotenter VR-Hom., d.h.

20241231-linalg_1_tut11_3bd6a8dac9d486ac242e963d1a7bd9eef2012f61.svg

Dann gilt

20241231-linalg_1_tut11_a4e32d5aadf0b4bdac78b4300e0aff1820551d41.svg

mit

20241231-linalg_1_tut11_0b88e0f9a718279d47baaa7f85e8f53f661cb027.svg

4) Matrix zu LGS (Rechnung überspringbar)

1)

Sei

20241231-linalg_1_tut11_00707acd10e47ac92aed444f0c78919ddd0687d1.svg

gegeben.

Was muss man machen, um die Lösung von

20241231-linalg_1_tut11_91705efea7ea2a1d79017f963342669d7ce7d987.svg

zu bestimmen ?

2)

Finde alle Lösungen von

20241231-linalg_1_tut11_b78e26d44c1993467ce4cfa1653bfbb9d6e85ad4.svg

Wie viele Zeilen & Spalten muss 20241231-linalg_1_tut11_2206995cea5a4f16d5e946f14cc7a7b8685c90b8.svg dabei haben ?

zusätzliche (schwierige) Beweisaufgaben

1) Kästchensatz

Sei 20241231-linalg_1_tut11_3cfd7a299d478f9bf2528fa65c00521e0cd88159.svg ein Körper und 20241231-linalg_1_tut11_d36c77976ad2a1a6057b932bb434c829061d11c9.svg .
Dann gilt für die 20241231-linalg_1_tut11_804789b5946d577b79a91656ae7bd9f772da2cca.svg Matrix