Äquivalente Charakterisierungen einer stetigen Abbildung (Topologie)
1. Satz
Seien \((X, \mathcal{T})\) und \((X', \mathcal{T}')\) topologische Räume und \(f: X \rightarrow X'\) eine Abbildung Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
- \(f\) ist stetig
- abgeschlossene Mengen unter stetigen Abbildungen
- Umgebung unter stetigen Abbildungen
- Bild des Abschlusses unter stetigen Abbildungen
- Konvergenz des Netzes unter stetigen Abbildungen (TODO)
- Urbild und Subbasis einer stetigen Abbildungen
- Stetigkeit und Filterstetigkeit
- Stetigkeit einer Abbildung und Stetigkeit in allen Punkten
2. Beweis
siehe unter einzelnen punkten